De bekendste gratis (mits niet commercieel) database is MySQL.
Databases maken kan dan met PHPMyAdmin
Er zijn er zeker meerdere, ook gratis. Ze schieten mij alleen zo snel niet te binnen.
Heb je al eens geprobeerd te Googlen op "gratis database" ? Ik weet zeker dat je dan eerder antwoord hebt op je vraag dan wanneer je moet gaan zitten wachten tot hier iemand een antwoord heeft geplaatst.
